이항옵션가격결정모형(binomial option pricing model)

주가가 이산적(discrete)으로 변하며 그 변동은 상승 또는 하락 두 가지로 한정된다는 가정하에서 도출된 모형으로 주가가 옵션의 만기일까지 한번만 변할 경우 이항옵션가격결정모형에 의해서 콜옵션의 가치(C)를 구하면 다음과 같다.

$C=[C_{u}(\frac{(1+r_{T}) - d}{u-d}) + C_{d}(\frac{(u-(1+r_{T})}{u-d})]\div (1+r_{T})$
- $C_{u}$ : 주가상승시 콜옵션의 가치
- $C_{d}$ : 주가하락시 콜옵션의 가치
- u : 주가상승계수
- d : 주가하락계수
- $r_{T}$ : T기간 동안의 무위험 이자율

수식이 너무 복잡하지만, 연습문제를 통해서 풀어보면.....

연습문제 (1)
(1) 현재주가는 20,000원이며
(2) 1년 후에는 24,000원으로 상승하거나
(3) 18,000원으로 하락하는데
(4) 무위험이자율은 연 10%이다.
(5) 행사가격이 21,000원일때, 콜옵션의 가치는??

- 주가가 상승할때의 콜옵션 가치
$C_{u}=max[24,000-21,000, 0]=3,000$

- 주가가 하락할때의 콜옵션 가치
$C_{d}=max[18,000-21,000, 0]=0$

- 주가상승 계수
$u=\frac{24,000}{20,000}=\frac{24}{20}=1.2$

- 주가하락 계수
$d=\frac{18,000}{20,000}=\frac{18}{20}=0.9$

식에 수치를 대입하면...
$C=[3,000 \times \frac{(1+0.1)-0.9}{1.2-0.9} + 0 \times \frac{1.2-(1+0.1)}{1.2-0.9}]\div (1+0.1)$

   $=[3,000 \times \frac{1.1-0.9}{0.3}]\div 1.1$

   $=(3,000 \times 0.66667)\div1.1$

   $=2,000.01\div1.1$

   = (약) 1,818.19

연습문제 (2)
(1) 행사가격이 160 포인트이고
(2) 1달후에 만기가 되는 코스피 200 콜옵션 10계약을 계약당 5포인트의 가격으로 매입하였다. (1포인트당 10만원)
(3) 만기일의 코스피200이 168.06포인트일 경우, 콜옵션의 만기일 가치와 손익은?

- 콜옵션 만기일의 가치
   = max[(168.06 - 160.00) X 10만원(매매단가) X 10계약, 0]
   = max(8.06 X 100만원, 0)
   = 806만원

- 콜옵션의 손익 = 콜옵션의 만기일 가치 - 매입가격
   = 806만원 - 5포인트 X 10만원 X 10계약
   = 806만원 - 500만원
   = 306만원

연습문제 (3)
(1) 현재 코스피 200은 100포인트
(2) 1달 후에 상승을 예상하고, 코스피 200 옵션물 중에서 "콜 100.0" 10계약을 계약당 5포인트 가격으로 매입하였다. (1포인트당 10만원)
(3) 만기일에 코스피200이 103포인트가 되었다면 손익은 얼마인가?

- 콜옵션 만기일의 가치
   = max[(103 - 100) X 10만원(매매단가) X 10계약, 0]
   = max(3 X 10 X 10, 0)
   = 300만원

- 콜옵션의 손익 = 콜옵션 만기일의 가치 - 매입가격
   = 300만원 - 5포인트 X 10만원 X 10계약
   = 300만원 - 500만원
   = -200만원 (손해)

즉, 이 경우에는 5포인트 가격을 지불하여 옵션을 매입하였는데 주가는 조금밖에 오르지 않아서 콜옵션을 구입한 비용조차 지불할 수 없어서 손해가 난 상황이다.

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